Wie erstellt man eine Geschwindigkeitskonstante?

1. Schritt: Durchführung eines Versuchs wie V5 im AB “Versuche zur Reaktionsgeschwindigkeit”.

2. Schritt: Erstellung eines Volumen-Zeit-Diagramms: Dabei wird auf der x-Achse die Zeit t in [s] und auf der y-Achse das Volumen Wasserstoff V(H₂) [mL] eingetragen und die Punkte mit einem Kurvenlineal oder von Hand graphisch interpolierend verbunden. Ob man im Experiment von vorgegebenen Zeitabschnitten (z.B. 10 s-Takt) oder von vorgegebenen Volumenabschnitten ausgeht, spielt keine Rolle: inhaltlich ist in jedem Fall die Zeit die unabhängige Variable und das Volumen die abhängige Variable. Das Diagramm (Abb. 1) zeigt die Abnahme entsprechender Durchschnittsgeschwindigkeiten in verschiedenen Zeitabschnitten.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Steigung der Sekante im Zeitabschnitt t₂-t₁, wobei t₂ immer

3. Schritt: Lässt man die Zeitabschnitte gegen Null wandern, bestimmt also die Grenzwerte der Differenzenquotienten, werden aus den Differenzenquotienten Differentialquotienten. Diese Differentialquotienten geben die Steigung der Tangente an einem bestimmten Zeitpunkt t_x an. Die Abb.1 macht deutlich, dass die Steigung der Tangenten in zwei verschiedenen Zeitpunkten abnimmt. Zur Lösung der Frage, von welchen Faktoren die Geschwindigkeit einer Reaktion abhängt, tragen also die Momentangeschwindigkeiten auch nicht wirklich bei. Das folgende Verfahren der Numerischen Differentation baut aber auf dem Verständnis der Momentangeschwindigkeiten bzw. Durchschnittsgeschwindigkeiten auf und deswegen war dieser Vorspann notwendig.

4. Schritt: Um den Versuch mit ähnlichen Versuchen vergleichbar zu machen, wird vom konkreten Volumen Wasserstoff V(H₂) auf die Molzahl n(H₂) umgerechnet: n(H₂) = V(H₂) /V_mn = V(H₂) [mL] / 24000 [mL/mol] bei 25 °C und 1013 hPa. Das molare Normvolumen V_mn eines Gases ist eine Naturkonstante und beträgt 22,414 L/mol bei 0 ̊ C und 1013 hPa.

5. Schritt: Das nun erstellte Diagramm n(H₂)/t unterscheidet sich nicht wesentlich vom V(H2)/t-Diagramm, es beantwortet nur allgemeiner z.B. die Frage, wie viel Mol Wasserstoffgas sich in welcher Zeit entwickeln. Ob die Reaktionsgeschwindigkeit jedoch alleine von der Säurekonzentration oder der Masse Magnesium oder von beiden Faktoren abhängt, kann es ebensowenig beantworten. Also werden wir dieses Diagramm nicht weiter betrachten!

Deswegen wird nun im 6. Schritt ein Diagramm erstellt bzw. berechnet, das diese Frage beantworten soll. Das Verfahren geht folgendermaßen vor sich (siehe Aufbau der Tabelle 1): aus den Zeitwerten t₁, t₂, t₃, t₄ usw. werden Differenzen erstellt: Δt= t₂-t₁, usw. Aus den Molzahlen werden ebenfalls entsprechende Differenzen erstellt: Δn(H₂) = n₂(H₂) - n₁(H₂) usw. Generell wird der kleinere Wert vom größeren abgezogen, das Ergebnis ist eine positive Zahl.

Im 7. Schritt werden nun die berechneten Werte graphisch aufgetragen: die Molzahlen, also n(H₂), werden auf der x-Achse abgetragen, der Quotient Δn(H₂)/Δt, der ja die Veränderung der Molzahlen pro Zeiteinheit darstellt, also die Reaktionsgeschwindigkeit, auf der y-Achse. Das erste Differenzenpaar bezieht sich auf den ersten realen Wert von n(H₂), das zweite Paar auf den 2. Wert usw. Wird das erste Differenzenpaar weggelassen, weil es die Werte Null/Null einbezieht, also den Ursprungsort des Graphen, ist auch der entsprechende Wert von n(H₂) wegzulassen.

Im Diagramm erhält man nun eine Reihe von Punkten, die mehr oder weniger auf einer Geraden liegen. Diese Gerade zeichnet man als Linie per Tabellenkalkulationsprogramm oder von Hand ein: es ist eine sog. Regressionsgerade. Der 1. Wert weicht meistens grob davon ab, weil er entweder den Ursprungsort (0/0) einbezieht bzw. die fast immer größere Anfangsgeschwindigkeit mit einbezieht. Er wird deswegen vernachlässigt. Die Steigung der Geraden ist der Wert der Geschwindigkeitskonstante k: Die Reaktionsgeschwindigkeit sinkt mit steigender Molzahl H₂-Gas, also mit abnehmender Säurekonzentration, weil die Zunahme des Gasvolumens direkt proportional der Abnahme der H⁺-Ionen der Säure ist (siehe Reaktionsgleichung). Das Verfahren heißt numerische Differentation. Die Formelbox zeigt die mathematischen Zusammenhänge. Der Vergleich verschiedener k-Werte bei unterschiedlichen Reaktionsbedingungen beantwortet die obige Fragestellung, wie die Konzentration eines Edukts oder eines zweiten oder beider Edukte die Reaktionsgeschwindigkeit beeinflusst.

Arbeitsauftrag: Berechnung von k aus den 5 Wertepaaren [V(H2)/t]: 10 ml/18s; 25 ml/59s; 35ml/85s; 50 ml/133 s; 65 ml/197 s;

Abb.1.: Volumen-Zeit-Diagramm mit Angabe zweier verschiedener Durchschnittsgeschwindigkeiten zu zwei
verschiedenen Zeitabschnitten bzw. Angabe zweier unterschiedlicher Momentangeschwindigkeiten zu zwei
verschiedenen Zeitpunkten.

Tabelle 1:

Bestimmung von Δ y über Dreisatzrechnung: 6,05 cm = 2*10-5 mol/s    1 cm   = 2*10-5 mol/s / 6,05 cm 1,15 cm = 2*10-5 mol/s / 6,05 cm* 1,15 cm              =  4,752 *10-6 mol/s (Die Zahlen sind nur als Beispiel zu verstehen)

Bestimmung von Δ x über Dreisatzrechnung oder durch Wahl entsprechender Punkte direkt aus der Graphik Δ y/Δ x = 4,752*10-6 mol/s / 0,0045 mol           k  =  1,056 *10-3 s-1

Abb. 3: Formelbox, die die Zusammenhänge mathematisch wiedergibt: